MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN

4. DESCRIPCIÓN DE DATOS - TÈCNICAS NUMÉRICAS

 

Para organizar datos se tiene se tiene en cuenta medida descriptiva de método de distribución de variables: es la reducción mediante estadígrafos.

En el presente capitulo se estudiaran estadígrafos de posición,  dispersión y    asimetría, y para cada caso se vera su definición, cálculos e interpretación.

Cuando el estudiante ha recolectado la información que necesita para su trabajo estadístico o estudio de caso, tiene que interpretar los resultados obtenido.

Las clases de estadígrafos  mas conocidos son los siguientes:

1. De Posición: Media Aritmética, Mediana, Mora, Promedio, Geométrico, promedio Armónico.

2. De Dispersión: Desviación media, Varianza, Desviación  Estándar o Desviación Media Cuadrática o Desviación Típica, coeficiente de variación.

3. De  Simetría o deformación.

La segunda técnica utilizada en la Estadística  Descriptiva se basa en dos tipos de cálculos numéricos:

los de Tendencia Central y  los de Dispersión.

Las Medidas de Tendencia Central son los estadígrafos de posición se basan en que cualquier distribución de frecuencia, los valores tienden a concentrarse alrededor de un valor central de la distribución.

Las de dispersión, por el contrario, se basan  los datos están mas concentrados alrededor del promedio,    disminuye la Dispersión y aumenta la concentración.

En otras palabras los valores se distribuyen alrededor de esos valores centrales.

        

4.1      MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL

Son los valores que representan a un  conjunto de datos y tienen que ser números hacia los cuales tienen tendencias a concentrarse  aquellos que son valores centrales o de posición central a cuyo alrededor se  distribuyen los datos de dicho conjunto.

A  continuación describimos los técnicas  de tendencia central:

Medida Aritmética, Mediana y Moda.

4.1.1     MEDIA ARITMETICA:

Es el valor descriptivo que todos tenemos en mente cuando se nos pide calcular o encontrar o simplemente de diga: ¿Cual es el promedio de tal o cual característica?

Para el estudio de este estadígrafo  su calculo e interpretación de una muestra se representa así:
 _
 x  o población: µ

 

observados divididos por el numero de observaciones.

Para las distribuciones con datos agrupados se obtiene dividiendo la suma del producto del valor diferente de la variable por su frecuencia absoluta.

4.1.2. MEDIANA:

La mediana se define como la medida de tendencia central que divide a cualquier distribución en dos partes iguales; es decir,    es el valor que divide un conjunto de observaciones previamente ordenadas en cuanto hace a su magnitud, en tal forma que la mitad de ellos están por debajo de ese valor y la otra estarán por encima del mismo, se representa así: Med.

Para dato no tabulado, para el cálculo de la mediana se representa dos caras así:

-       Cuando tenemos números de observaciones impar por ejemplo:

El número de personas  a cargo que tienen cede contadores públicos en las siguientes formas:     1,1,3,2,2,3,2

Primero ordenamos estros datos en orden creciente la Med. Será el valor central. La mediana es 2 persona a cargo.

1,    1,  2,   2,  2,  3,  3

Med= 2

Cuando el número de observaciones es par, la mediana será igual a la media de los dos  valores centrales. Así, en la siguiente distribución de sueldos mensuales que reciben los empleados de una empresa.

$ 700.000,  $ 650.000, $600.000, $680.000

Siendo 4 empleados el total de sueldos mensuales, ordenamos la distribución de menor a mayor así:

$ 600.000 ,  $ 650.000, $680.000 , $700.000

La mediana aparecen la posición segunda y tercera están en la mitad de la distribución será:

Med = $650.000+ $680.000  = $ 665.000

    2

Para datos tabulados, calcular la mediana de una variable discreta se presenta dos caras:

-       cuando es par, se divide el numero de observaciones en  dos partes n

                                                                                                                  2

Se ubica en la distribución de frecuencia absoluta acumulada es exacta inmediatamente se forma el valor de la variable a que corresponde el lugar así:

 

 

La Med ocupa el lugar n/2 o sea 10 / 2 = 5 por lo tanto Med = 2 personas a cargo.

-       Cuando es impar, la med ocupa el lugar n/2 en la distribución de frecuencia absoluta acumulada Ni es inexacta esta entre dos valores, inmediatamente se toma el valor de la variable mayor así:

     Numero                                Numero                               Numero

Persona a Cargo                    de contadores                   acumulado contadores         

           Xi                                        ni                                          Ni

1                                                            Med=       2                                     3		2                                              2                3                                              5                2                                              7
		n =7

  La mediana ocupa, 7/2 = 3.5 por lo tanto Med= 1+2/2 = 1.5 es igual Med = 2 personas a cargo.

Para datos agrupados en una variable continua, se define como el valor dentro del intervalo que divide la distribución en dos partes iguales se presentan dos casos:

-       Cuando es inexacta, se aplica la siguiente formula es:

Med = Yj + Cj ( n/2  - Nj-1)
                          Nj+1-Nj-1

YJ = Limite inferior entre dos marcas de clase donde esta la n / 2 en Ni.

C_J = Tamaño o de la clase,

N_{J – 1}= Es el valor que esta antes que n/2 ubicado en la distribución de frecuencia absoluta acumulada (Ni).

N_{J – 1}= Es el valor que esta después de n / 2, ubicado en la Ni,.

-       Cuando es exacta, no se aplica formula, el lugar n/2 coincide con el valor Ni, inmediatamente tomamos el intervalo de clase, el limite máximo que corresponde el 50% de los datos. Para dar el calculo de la mediana se puede observar mas claro representando gráficamente la distribución de frecuencia absoluta acumulada por medio de una ojiva, ahora, tenemos la distribución de sueldos mensuales que reciben los empleados dicha empresa, cuando es inexacta, así:

                      Sueldos                     Numero de           Numero                        Sueldo          

             
                   Mensuales               Empleados               Acumulado                   Mediio

                                                                                         Empleados                     Mensual
                                                                                             Ni                             Yi

                  1           600  - 700                    10              10                                650

                                                                                             n  /2 = 22.5               yj=700

                  2          700   - 800                    30              40                                750

 

                       3          800    - 900                    15               45                               850

                                                                   n=45

                                                          

Remplazamos los valores en la formula:

         Med = 700.000 +  100.000  ( 22.5    - 10)

     ( 40      - 10   )        

                                                   

Med = 700.000    + 100.000(12.5/30)              

Med = 700.000  + 100.000 ( 0.416666)

Med = 700.000  + 41.666,666

Med = $ 741666,67

El 50% de los sueldos mensuales que recibe los empleados de la empresa es de $ 741.666,67 ; es decir el valor de los sueldos  mensuales, que supera a esta en no mas de 22 empleados y es superado por esto en no mas de las 23  empleados es igual a $ 741.666,67.

4.1.3   MODA

Es el valor mas frecuentemente que encontramos en los datos numéricos, es decir el valor que se presenta, mayor numero de veces. La moda se representa así: Mod.

Para calcular este estadígrafo se representa varios casos que a  continuación me permito describir así;

- En la variable discreta     para datos no agrupados se observa el valor que presenta mayor frecuencia, como por ejemplo;

El estado  civil de los empleados de una empresa, arrojo el siguiente resultado:

1, 1, 1, 2,2, 2, 2, 3, 3,

	Convención casado soltero unión libre

Se presenta el caso de una distribución (unímodal)

Mod = 2 (soltero)

El estado civil que mas frecuentemente tienen los empleados de una empresa es la de soltero.

Cuando hay dos moda de distribución  se llama bimodal.

Como por ejemplo;

Las personas a cargo que tienen cede contador de una empresa así;

1,1,2,2,2,3,3,4,4,4,

Modi = 2

Modi= 4                                                             

El valor de las personas a cargo que se presenta el mayor numero de veces de los contadores de una empresa es de 2 personas a cargo y 4    personas a cargo.

En la variable discreta para datos agrupados, observamos la siguiente distribución la cantidad de libro contables que registra los auxiliares de contabilidad.

      

                          Numero                                Numero

                         Libros                                  Auxiliar   

                         Contables                           Contabilidad

                                       1                                      2
                                       2                                      3
                                       3                                      5  
                                       4                                      3 

n=13

En este caso se presenta una sola moda. Por lo tanto

mod. = 3   (    libros contables)

La cantidad de libros contable que más frecuentemente registra los auxiliares de contabilidad es de tres libros contables.

 Para datos agrupados de una variable continua, tenemos la siguiente distribución de sueldos mensuales que recibe cada empleados de una empresa, para calcular la moda así:

  h                     Sueldos Mensuales           Nùmero de Empleados

1                          600  - 700                                       10
2                          700  -  800                                      20
 3                         800  - 900                                       15
                                                                                 n=45

                                 

   

En este caso se aplica la siguiente formula asi:

Mod =    y _j-1+ Cj  (nj+1)/nj+1 + nj-1                                     

Donde:

y _j-1  =  limite inferior del intervalote clase en donde esta elñ valor mas alto en la distribución de frecuencia absoluta.

C_{j  =}     tamaño  del intervalo de clase.

n _{j+1 =}   frecuencia que esta después del valor mas alto den la ni.

n _{j-1  =}   es el valor que esta  antes del valor  mas alto en la ni.

Reemplazamos los valores de la formula;

Mod = 700.000 + 100.000    ( 15 / 15+10)

                            

Mod = 700.000 + 100.000    ( 15  /  25 )

Mod = 700.000 + 100.000     (0.6)

Mod = 700.000  + 60.000

Mod = $ 760.000

El valor de los sueldos mensuales que reciben los empleados se representan el mayor numero  de veces es de $ 760.000; es decir el sueldo mensual que mas frecuentemente reciben los empleados es de $  760.000.